最近在学习《3D 游戏编程大师技巧》第 4 章，摘抄一些我认为重要的信息，并添加上自己的一些思考。
提示：很多图形算法都以这样的方式进行优化：首先在 Q1 中解决问题，然后根据对称性将解决方案反射到其它象限（在 3D 坐标系中为卦限）。
另一种支持两个自由度的坐标系是极坐标（polar coordinates）系。极坐标是游戏 Wolfenstein 和光线投射技术的基础。极坐标使用方向（heading）和距离来定义 2D 空间中的点，而不是使用 (x, y) 坐标。
极坐标 (r, θ) 转为笛卡尔坐标 (x, y)：
- x = r * cosθ
- y = r * sinθ
笛卡尔坐标 (x, y) 转为极坐标 (r, θ)：
- r = sqrt(x2 + y2)
- θ = tan-1(y/x) （注意 y/x 时必须 x ≠ 0）
极坐标很有用，理解极坐标以及如何进行坐标变换对于解决很多有关弹道、瞄准和导航的问题非常重要。
如果您人事过游戏编程，可能熟悉 3D 坐标系。但这里还是要介绍一下柱面坐标系和球面坐标系，因为它们对实现纹理映射和其它特殊效果很有帮助。
（3D 笛卡尔坐标系）新增的 z 轴带来了一个小问题，必须决定在两个不同的方向中，哪个代表 z 轴的正半空间，哪个代表 z 轴的负半空间。因此，有两种不同的 3D 笛卡尔坐标系：左手坐标系和右手坐标系。
在标准的 2D 笛卡尔坐标系中（图 4.1）：
- 如果新增的 z 轴正方向指向屏幕内，则是左手坐标系（图 4.9）
- 如果新增的 z 轴正方向指向屏幕外，则是右手坐标系（图 4.10）
3D 柱面坐标系最接近于 2D 极坐标系，因为它只是在 2D 极坐标系的基础上增加了一条 z 轴，如图 4.11。
我的理解是，3D 柱面坐标系中的 x-y 平面使用的极坐标形成一个圆，再加上 z 轴就形成一个圆柱体了。
3D 柱面坐标 (r, θ, z) 转为 3D 笛卡尔坐标 (x, y, z)：
- x = r * cosθ
- y = r * sinθ
- z = z
3D 笛卡尔坐标 (x, y, z) 转为 3D 柱面坐标 (r, θ, z)：
- r = sqrt(x2 + y2)
- θ = tan-1(y/x) （注意 y/x 时必须 x ≠ 0）
- z = z
对于很多问题，使用柱面坐标是非常方便的，如在第一人称射击游戏中控制相机、环境映射等。
假设 P 点在三维空间的位置的球面坐标是 (r, φ, θ)，那么：
- r 是从原点到 P 点的距离
- φ 是从原点到 P 点的线段，在 x-y 平面的投影线，与 +x 轴的夹角
- θ 是从原点到 P 点的线段，与 +z 轴的夹角
我的疑问：使用球面坐标系的好处是什么？在什么情况下会比 3D 笛卡尔/柱面坐标系方便？
球面坐标 (r, φ, θ) 转为 3D 笛卡尔坐标 (x, y, z)：
- x = r * sinθ * cosφ
- y = r * sinθ * sinφ
- z = r * cosθ
3D 笛卡尔坐标 (x, y, z) 转为球面坐标 (r, φ, θ)：
- r = sqrt(x2 + y2 + z2)
- φ = tan-1(y / x)
- θ = cos-1(z / r)
- θ = sin-1(p / r) （p 为从原点到 P 点的线段，在 x-y 平面的投影线的长度，即 sqrt(x2 + y2)）
注意：在计算机上，无法表示无穷大，但在这种环境下，无穷大指的是这样的数字，即它们足够大，比我们考虑的数字空间中的任何数还要大很多倍。例如，如果游戏空间为 1000 * 1000 的网格，则可以认为 100,000,000 接近无穷大。
下面列出常用的一些三角恒等式。
倒数函数：
- 正割：csc(θ) = 1 / sin(θ)
- 余割：sec(θ) = 1 / cos(θ)
- 余切：cot(θ) = 1 / tan(θ)
勾股定理的三角函数表示：
- sin(θ)2 + cos(θ)2 = 1
转换恒等式：
- sin(θ) = cos(θ – PI/2)
反射恒等式：
- sin(-θ) = -sin(θ)
- cos(-θ) = cos(θ)
角度相加恒等式：
- sin(θ1 + θ2) = sin(θ1) * cos(θ2) + cos(θ1) * sin(θ2)
- cos(θ1 + θ2) = cos(θ1) * cos(θ2) - sin(θ1) * sin(θ2)
- sin(θ1 - θ2) = sin(θ1) * cos(θ2) - cos(θ1) * sin(θ2)
- cos(θ1 - θ2) = cos(θ1) * cos(θ2) + sin(θ1) * sin(θ2)
技巧：后面讨论矩阵变换时，可能将多种操作（如平移、旋转、缩放等）组合起来。旋转操作本身可能是多个用正弦和余弦表示的旋转变换的组合。因此，计算矩阵乘法时，可以使用三角恒等式来简化矩阵，编写一个具体的函数来执行变换操作，而不是盲目地使用通用的矩阵乘法。
